Отрезок. Ломаная линия

Определение

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

$Отрезок на прямой$

Рис. 1 Отрезок на прямой

Чтобы понять, о каком именно отрезке идет речь, называют концы этого отрезка, то есть две точки, ограничивающие его. Так, на рисунке 1 обозначен отрезок AB, лежащий на прямой a.

На одной прямой можно отметить бесконечное число отрезков. Например, на рисунке 2 изображена прямая c и точки M, O, N и P принадлежащие этой прямой. Они делят участок прямой на следующие отрезки:

$Прямая и отрезки$

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Называть отрезок (то есть точки, которые являются его концами) можно как слева направо, так и справа налево. Так, в последнем примере «отрезок MN» и «отрезок NM» являются названиями одного и того же отрезка. Но принято, что при обозначении отрезка мы называем его конечные точки слева направо.

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

отрезок DE
луч a с началом в точке D
луч b с началом в точке E

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

$Отрезок, лучи прямой$

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

В большинстве случаев в школьном курсе математики отрезки рассматриваются без привязки к прямой, которой они принадлежат. То есть, рисуют сам отрезок, а остальную часть прямой (образовавшиеся лучи) просто «отбрасывают».

$Отрезок$

Рис. 4 Отрезок без прямой

И наоборот, если продлить отрезок, нарисованный как на рисунке 4, в обе стороны за концы этого отрезка, то мы получим прямую, на которой лежит данный отрезок.

Если точки лежат на одной прямой с отрезком и находятся между концами этого отрезка, то говорят, что эти точки принадлежат отрезку.

$Отрезок и точки$

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

(·) C ∈AB – точка C принадлежит отрезку AB;
(·) D ∈AB – точка D принадлежит отрезку AB;
(·) E ∉AB – точка E не принадлежит отрезку AB;
(·) F ∉AB – точка F не принадлежит отрезку AB.

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Точки, которые лежат на отрезке, делят его на более короткие отрезки. На рисунке 6 видно, что точка O поделила отрезок LM на меньшие отрезки LO и OM. Каждый из этих двух меньших отрезков называются частью отрезка.

$Отрезок и части отрезка$

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Отметить часть прямой линии, обозначив края этой части точками (рисунок 7-а).
Обозначить на листе бумаги (на плоскости) две произвольные точки и соединить их между собой прямой линией (рисунок 7-б).

$Построение отрезка$

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

В отличие от прямой линии и луча, которые длятся бесконечно, отрезок имеет длину, поэтому его можно измерить.

Измерить отрезок можно:

относительным способом (сравнить отрезки между собой);
абсолютным способом (определить его длину измерительным инструментом).

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

После этого нужно перенести циркуль на второй отрезок и поставить одну иглу на любой его конец. Если вторая игла циркуля совпадает со вторым концом отрезка, тогда эти отрезки равны.

$Сравнение отрезков$

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

отрезок AB равен отрезку DE (записывают просто AB=DE);
FG<AB
HK>AB

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Запомните

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

$Как измерять длину отрезка$

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Кроме произвольного, также требуется построить отрезок определенной длины.

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

$Построить отрезок заданной длины$

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Запомните!

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

$Кривая, ломаная, отрезок$

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Определение

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

$ломаная линия$

Рис. 12 Ломаная линия

Вершинами ломаной линии называются концы отрезков, из которых она состоит.
Звеньями ломаной линии называются составляющие ее отрезки.
Смежные звенья – это звенья, которые имеют общие вершины.
Смежные звенья не могут принадлежать одной прямой.
Длина ломаной линии – это сумма длин всех входящих в ее состав звеньев.

На рисунке 12 видно, что:

KLMN – ломаная линия;
K, L, M, N – вершины ломаной KLMN;
KL, LM, MN – звенья ломаной KLMN;
KL и LM – смежные звенья;
LM и MN – смежные звенья;
KL и MN – не являются смежными звеньями.

Называют ломаную линию по названию ее вершин, соблюдая их последовательность. Так, называть ломаную на рисунке 11 как KLMN или NMLK – правильно, а MLKN или MNLK – не правильно.

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Название разомкнутой ломаной начинается с названия вершины, с которой она начинается. Замкнутую ломаную можно называть, начиная с любой ее вершины.

На рисунке 12: