Числовые и буквенные выражения. Формулы | Школьная математика. Математика 5 класс


Числовые и буквенные выражения. Формулы



Содержание
Математическое выражение. Определение
Числовые и буквенные математические выражения
Когда опускают знак умножения
Как читать математические выражения
Формулы

Онлайн-репетиторы по всем школьным предметам. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Записаться

Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:

  • цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
  • буквы латинского и греческого алфавитов (\(a, b, c, d, α, β, γ, δ\) и т.д.)
  • знаки математических действий ( \(+, -, \times , \div\), и т.д.);
  • скобки (), [ ], { }.

Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.

Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.

Буквамилюбое или неизвестное число, в зависимости от задачи.

Например:

  • 258 – конкретное число двести пятьдесят восемь;
  • \(a + b\) – сумма любых двух чисел;
  • \(x + 24 = 78\) – уравнение с неизвестным первым слагаемым икс.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:

  • числа, обозначенные цифрами или буквами
  • знаки математических действий, которые связывают эти числа математическими действиями;
  • вспомогательные знакискобки.

При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.

Примеры математических выражений:

  • x;
  • 74;
  • \(2\cdot3\)
  • \(a\div (25+38)\)
  • \(374+(48\cdot 2)\)
  • \(ac + bc\)

ВНИМАНИЕ!

НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:

  • запись только знака;
  • запись, не обозначающая математического действия над числами (когда знаки не связывают собой числа и не указывают на последовательность действий);
  • запись, в которой присутствуют знаки сравнения (в этом случае запись является уравнением или неравенством, сравнивающем два и более выражений).

Например, это НЕ математические выражения:

  • (
  • +
  • \((\div 8-59\)
  • \(35\cdot 12(+74\)
  • \(a+5=12\)
  • \(38+87<25\cdot x\)
  • \((1000+x)\div 2=784\)

Числовое значение выражения – это число, которое получается в результате выполнения всех действий в правильном порядке, указанных в данном выражении.

Найти числовое значение выражения – это означает совершить все арифметические действия, записанные в выражении, в правильном порядке, и получить число, являющееся значением данного выражения.

Например:
\((35+4)\cdot 2\) — это выражение, а 78 — это числовое значение этого выражения, полученное в результате выполнения всех арифметических действий этого выражения.

Виды математических выражений

Числовые – выражения, которые состоят только из чисел, выраженных цифрами, и знаков: \(5+3; 28\div 4; 32\cdot (25+15)\);

Буквенные – выражения, которые состоят из чисел, выраженных и цифрами, и буквами, или только буквами, и знаков: \(5\cdot a; a+b; 64\div (2+c)\).

Математические выражения

Случаи опускания знака умножения в выражениях

В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.

В остальных случаях знак умножения опускают, например:

  • между числовым и буквенным множителем: \(5\cdot x = 5x\)
  • между буквенными множителями: \(a\cdot b = ab\)
  • между числовым множителем и скобкой: \(3\cdot (d+c)=3(d+c)\)
  • между буквенным множителем и скобкой: \(a\cdot (b+c)=a(b+c)\)

Как читать математические выражения

Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:

  • \(2+3\) – сумма чисел 2 и 3
  • \(5\cdot 4\) – произведение чисел 5 и 4
  • \(24\div 6\) – частное чисел 24 и 6
  • \(35-5\) – разность чисел 35 и 5

Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:

  • \((a+b)-c\) – разность суммы чисел a и b и числа c
  • \((a+b)\cdot (a-b)\) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
  • \(a\div (c\cdot d)\) – частное числа a и произведения чисел c и d

Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:

  • Сумма первых пяти натуральных чисел – \(1+2+3+4+5\)
  • Произведение всех однозначных чисел – \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\)
  • Сумма всех двузначных чётных чисел – \(10+12+14+…+94+96+98\)

Алгоритм чтения математических выражений

Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:

  1. Определить порядок действий в выражении
  2. Прочитать, начиная с последнего действия

При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.

Например:

  • \(35\cdot (28-12)\) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
  • \(35\cdot (28-12)+64\) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
  • \(35\cdot (28-12)+64–32\div 16\) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16

Формулы

Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.

Например:

Велосипедист едет со скоростью \(v_{1}\) км/ч. Найти скорость:

а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_{a}=3\cdot v_{1}\);

б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_{p} = v_{1}-15\).

Иначе это называется выразить одну величину через другую.

В первом случае мы выразили скорость автомобиля ( \(v_{a}\) ) через скорость велосипедиста ( \(v_{1}\) ), а во втором случае – скорость пешехода ( \(v_{p}\) ) через скорость велосипедиста ( \(v_{1}\) )

Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.

Запись такого равенства называется формулой.

ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.

Например:

  • формула расстояния \(s = v\cdot t\) (или \(s = vt\) ) – это запись зависимости значения пройденного расстояния от значений скорости движения и времени движения (Расстояние – это скорость, умноженная на время).
  • формула периметра прямоугольника \(P=2(a+b)\) – это запись зависимости величины периметра
    прямоугольника от его длины и ширины (Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме
    двух его разных сторон).
2+

Читайте и смотрите уроки математики в:
YouTube
Facebook
VKontakte
Одноклассники


Школьная математика