Содержание
Математическое выражение. Определение
Числовые и буквенные математические выражения
Когда опускают знак умножения
Как читать математические выражения
Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
- цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
- буквы латинского и греческого алфавитов (\(a, b, c, d, α, β, γ, δ\) и т.д.)
- знаки математических действий ( \(+, -, \times , \div\), и т.д.);
- скобки (), [ ], { }.
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
Например:
- 258 – конкретное число двести пятьдесят восемь;
- \(a + b\) – сумма любых двух чисел;
- \(x + 24 = 78\) – уравнение с неизвестным первым слагаемым икс.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
- числа, обозначенные цифрами или буквами,
- знаки математических действий, которые связывают эти числа математическими действиями;
- вспомогательные знаки – скобки.
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
- x;
- 74;
- \(2\cdot3\)
- \(a\div (25+38)\)
- \(374+(48\cdot 2)\)
- \(ac + bc\)
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
- запись только знака;
- запись, не обозначающая математического действия над числами (когда знаки не связывают собой числа и не указывают на последовательность действий);
- запись, в которой присутствуют знаки сравнения (в этом случае запись является уравнением или неравенством, сравнивающем два и более выражений).
Например, это НЕ математические выражения:
- (
- +
- \((\div 8-59\)
- \(35\cdot 12(+74\)
- \(a+5=12\)
- \(38+87<25\cdot x\)
- \((1000+x)\div 2=784\)
Числовое значение выражения – это число, которое получается в результате выполнения всех действий в правильном порядке, указанных в данном выражении.
Найти числовое значение выражения – это означает совершить все арифметические действия, записанные в выражении, в правильном порядке, и получить число, являющееся значением данного выражения.
Например:
\((35+4)\cdot 2\) — это выражение, а 78 — это числовое значение этого выражения, полученное в результате выполнения всех арифметических действий этого выражения.
Виды математических выражений
Числовые – выражения, которые состоят только из чисел, выраженных цифрами, и знаков: \(5+3; 28\div 4; 32\cdot (25+15)\);
Буквенные – выражения, которые состоят из чисел, выраженных и цифрами, и буквами, или только буквами, и знаков: \(5\cdot a; a+b; 64\div (2+c)\).
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
- между числовым и буквенным множителем: \(5\cdot x = 5x\)
- между буквенными множителями: \(a\cdot b = ab\)
- между числовым множителем и скобкой: \(3\cdot (d+c)=3(d+c)\)
- между буквенным множителем и скобкой: \(a\cdot (b+c)=a(b+c)\)
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
- \(2+3\) – сумма чисел 2 и 3
- \(5\cdot 4\) – произведение чисел 5 и 4
- \(24\div 6\) – частное чисел 24 и 6
- \(35-5\) – разность чисел 35 и 5
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
- \((a+b)-c\) – разность суммы чисел a и b и числа c
- \((a+b)\cdot (a-b)\) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
- \(a\div (c\cdot d)\) – частное числа a и произведения чисел c и d
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
- Сумма первых пяти натуральных чисел – \(1+2+3+4+5\)
- Произведение всех однозначных чисел – \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\)
- Сумма всех двузначных чётных чисел – \(10+12+14+…+94+96+98\)
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
- Определить порядок действий в выражении
- Прочитать, начиная с последнего действия
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Например:
- \(35\cdot (28-12)\) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
- \(35\cdot (28-12)+64\) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
- \(35\cdot (28-12)+64–32\div 16\) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Например:
Велосипедист едет со скоростью \(v_{1}\) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_{a}=3\cdot v_{1}\);
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_{p} = v_{1}-15\).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
В первом случае мы выразили скорость автомобиля ( \(v_{a}\) ) через скорость велосипедиста ( \(v_{1}\) ), а во втором случае – скорость пешехода ( \(v_{p}\) ) через скорость велосипедиста ( \(v_{1}\) )
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Например:
- формула расстояния \(s = v\cdot t\) (или \(s = vt\) ) – это запись зависимости значения пройденного расстояния от значений скорости движения и времени движения (Расстояние – это скорость, умноженная на время).
- формула периметра прямоугольника \(P=2(a+b)\) – это запись зависимости величины периметра
прямоугольника от его длины и ширины (Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме
двух его разных сторон).