Две однотипные задачи, которые в разное время взбудоражили интернет. Сталкиваются титанические плиты мнений, летят волосы, брызжет слюна, ломаются карандаши и ручки, рушатся семьи… Последнее не точно, но всё может быть.
Онлайн-репетиторы по всем школьным предметам. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Записаться
Проблема вирусных школьных задач
Я рассмотрю здесь последнюю нашумевшую вирусную задачу, а именно:
8÷2(2+2)=?
Алгоритм чтения математических выражений такой:
- в первую очередь мы определяем порядок действий;
- после этого читаем и выполняем их, начиная с последнего.
Но тут появляется первый камень преткновения – это отсутствие знака умножения между числом 2 и открывающейся скобкой. Этот камень успешно преодолевают все: и те, кто из школьной математики помнят только, что знак умножения можно опускать, и те, которые знают, в каких случаях допускается пропуск знака умножения, а именно, пункт 3.
Правило опускания знака умножения в выражениях.
Знак умножения при записи математических выражений можно опустить в таких случаях:
1. между буквенными множителями;
2. между числовым и буквенным множителем;
3. между множителем и скобкой;
4. между выражениями в скобках.
То есть, нашу задачу мы можем записать так:
8÷2 ∙(2+2).
Вторым камнем преткновения является определение порядка действия. Здесь царит настоящая чехарда! Одни представляют это выражение в виде произведения дроби 8/2 и суммы 2+2, что в итоге приводит их к результату 16. Другие, вспоминая школьное правило порядка действий, сперва находят сумму, заключенную в скобки, а потом выполняют действия одинаковой ступени (умножение и деление).
Вторые также делятся на два лагеря: на тех, которые помнят со школьной скамьи, что действия одной ступени выполняются по порядку слева направо, и получают 8÷2=4, 4∙4=16, и тех, которые утверждают, что действие умножения имеет приоритет над действием деления, поэтому 8÷8=1.
Кто же из них прав?
Решение вирусных школьных математических задач с опущенным знаком умножения
Я не буду рассматривать все варианты, предложенные в интернете, а просто покажу, какими правилами необходимо руководствоваться при решении подобных вирусных математических задач.
Первым действием, с чем никто не спорит, находится выражение в скобках. Получаем:
1) 2+2=4.
А вот дальше начинается самое интересное. Загвоздка подобных задач, приводящая к их неоднозначному толкованию, заключается в опущенном знаке умножения.
Столкновение мнений происходит из-за того, что кто-то забыл, что означает пропущенный знак умножения между числом и скобкой, кто-то не понял это в свое время, а у кого-то это вообще прошло мимо.
Пункт 3 в списке случаев, когда возможно опустить знак умножений, нам говорит, что это допускается между множителем и скобкой. А если есть явное указание на существование одного из множителей, значит существует, как минимум, ещё один множитель, а именно: выражение в скобках.
Предположим, что в данной задаче главное – это последовательность совершения действий, на чем настаивают некоторые комментаторы задачи, и после вычисления суммы в скобках нужно выполнить действия второй ступени: сперва деление 8 на 2, потом умножение 4 на 4. Но тогда получается, что в записи 8÷2(2+2) знак умножения пропущен между делителем 2 и скобкой (2+2), что является нарушением правил опускания знака умножения, и такая трактовка условия некорректная. Для корректного представления частного 8÷2, оно должно было быть заключено в скобки следующим образом: (8÷2)(2+2).
Следовательно, мы можем рассматривать 2 перед скобкой только как множитель, 8 – это, безусловно, делимое, а делителем выступает выражение, представленное произведением 2 ∙(2+2). Само выражение 8÷2∙(2+2) при этом – это деление числа на произведение, где 2 – это первый множитель, а (2+2) – это второй множитель.
Получается, полностью понятная запись этой задачи, тождественная исходной и не вызывающая разночтений, выглядит так: 8÷[2 ∙(2+2)]. Корректность начального условия задачи и преобразования его при помощи скобок в такой вид я покажу чуть ниже.
А найти результат деления числа на произведение можно двумя способами:
1) делимое число разделить на результат произведения;
2) делимое разделить на первый множитель произведения, результат разделить на второй множитель и т.д.
Поэтому, второе действие решения этой задачи – нахождение произведения первого множителя 2 и второго, представляющего собой сумму выражения в скобках:
2) 2 ∙4=8.
Остается только выполнить третье действие – найти частное от деления 8 на 8:
3) 8÷8=1.
Итак, результат решения задачи:
8÷2 ∙(2+2)=1.
Подтверждением правильности исходной записи задачи и ее преобразования в полностью понятный вид является практика правописания алгебраических выражений: при записи деления числа на произведение, в котором были опущены знаки умножения, скобки, заключающие в делителе число, выраженное произведением, также обычно опускаются. То есть:
a÷( k ∙l ∙m)=a÷(klm)=a÷klm.
А в нашем случае мы имеем результат этой записи, то есть, в делителе, который выражен произведением с опущенным знаком умножения, были опущены скобки. И нам следует выполнить обратные действия, то есть: восстановить опущенные скобки и знак умножения. Тогда наш изначальный пример приобретет такой вид, тождественный начальному:
8÷[2 ∙(2+2)].
Да, вирусные примеры с опущенным знаком умножения специально записываются таким образом, который предполагает возникновение разночтения у людей с разной математической подготовкой. И без знания правил и четкого их понимания выпутаться практически невозможно.
Проверка решения вирусных математических задач с опущенным знаком умножения
Получив результат выполнения действий, его нужно проверить.
Проверкой данной вирусной математической задачи с опущенным знаком умножения, а также еще одним способом ее решения, служат тождественные преобразования исходного выражения.
Итак, мы имеем выражение 8÷2(2+2). Можем ли мы его упростить, просто заменив выражение в скобках его суммой? Ответ: нет. Потому что в этом случае у нас получается опущен знак умножения между двумя числами, что противоречит правилу, рассмотренному выше.
Упростить выражение, не нарушив правило опущения знака умножения, мы можем, представив выражение в скобке в виде буквы:
пусть x=(2+2),
тогда выражение приобретает вид:
8÷2x,
что не противоречит правилу опущения знака умножения. Идем далее:
8÷2x=4÷x=4÷(2+2)= 4÷4=1.
Как видите, проверка показала правильность решения этой вирусной математической задачи.