Решение вирусных школьных задач | Школьная математика. Блог


Решение вирусных школьных задач



Две однотипные задачи, которые в разное время взбудоражили интернет. Сталкиваются титанические плиты мнений, летят волосы, брызжет слюна, ломаются карандаши и ручки, рушатся семьи… Последнее не точно, но всё может быть.


Проблема вирусных школьных задач

Я рассмотрю здесь последнюю нашумевшую вирусную задачу, а именно:

\(8\div 2(2+2)=?\)

Алгоритм чтения математических выражений такой:

  • в первую очередь мы определяем порядок действий;
  • после этого читаем и выполняем их, начиная с последнего.

Но тут появляется первый камень преткновения – это отсутствие знака умножения между числом 2 и открывающейся скобкой. Этот камень успешно преодолевают все: и те, кто из школьной математики помнят только, что знак умножения можно опускать, и те, которые знают, в каких случаях допускается пропуск знака умножения, а именно, пункт 3.

Правило опускания знака умножения в выражениях.
Знак умножения при записи математических выражений можно опустить в таких случаях:
1. между буквенными множителями; 
2. между числовым и буквенным множителем; 
3. между множителем и скобкой; 
4. между выражениями в скобках.

То есть, нашу задачу мы можем записать так:

\(8\div 2\times (2+2)\).

Вторым камнем преткновения является определение порядка действия. Здесь царит настоящая чехарда! Одни представляют это выражение в виде произведения дроби \(\frac{8}{2}\) и суммы \(2+2\), что в итоге приводит их к результату 16. Другие, вспоминая школьное правило порядка действий, сперва находят сумму, заключенную в скобки, а потом выполняют действия одинаковой ступени (умножение и деление).

Вторые также делятся на два лагеря: на тех, которые помнят со школьной скамьи, что действия одной ступени выполняются по порядку слева направо, и получают \(8\div 2=4\), \(4\times 4=16\), и тех, которые утверждают, что действие умножения имеет приоритет над действием деления, поэтому \(8\div 8=1\).

Кто же из них прав?

Решение вирусных школьных математических задач с опущенным знаком умножения

Я не буду рассматривать все варианты, предложенные в интернете, а просто покажу, какими правилами необходимо руководствоваться при решении подобных вирусных математических задач.

Первым действием, с чем никто не спорит, находится выражение в скобках. Получаем:

1) \(2+2=4\).

А вот дальше начинается самое интересное. Загвоздка подобных задач, приводящая к их неоднозначному толкованию, заключается в опущенном знаке умножения.

Столкновение мнений происходит из-за того, что кто-то забыл, что означает пропущенный знак умножения между числом и скобкой, кто-то не понял это в свое время, а у кого-то это вообще прошло мимо.

Пункт 3 в списке случаев, когда возможно опустить знак умножений, нам говорит, что это допускается между множителем и скобкой. А если есть явное указание на существование одного из множителей, значит существует, как минимум, ещё один множитель, а именно: выражение в скобках.

Предположим, что в данной задаче главное – это последовательность совершения действий, на чем настаивают некоторые комментаторы задачи, и после вычисления суммы в скобках нужно выполнить действия второй ступени: сперва деление 8 на 2, потом умножение 4 на 4. Но тогда получается, что в записи \(8\div 2(2+2)\) знак умножения пропущен между делителем 2 и скобкой (2+2), что является нарушением правил опускания знака умножения, и такая трактовка условия некорректная. Для корректного представления частного \(8\div 2\), оно должно было быть заключено в скобки следующим образом: \((8\div 2)(2+2)\).

Следовательно, мы можем рассматривать 2 перед скобкой только как множитель, 8 – это, безусловно, делимое, а делителем выступает выражение, представленное произведением \(2 \times (2+2)\). Само выражение \(8\div 2\times (2+2)\) при этом – это деление числа на произведение, где 2 – это первый множитель, а \((2+2)\) – это второй множитель.

Получается, полностью понятная запись этой задачи, тождественная исходной и не вызывающая разночтений, выглядит так:

\(8\div [2 \times (2+2)]\).

Корректность начального условия задачи и преобразования его при помощи скобок в такой вид я покажу чуть ниже.

А найти результат деления числа на произведение можно двумя способами:
1) делимое число разделить на результат произведения;
2) делимое разделить на первый множитель произведения, результат разделить на второй множитель и т.д.

Поэтому, второе действие решения этой задачи – нахождение произведения первого множителя 2 и второго, представляющего собой сумму выражения в скобках:

2) \(2\times 4=8\).

Остается только выполнить третье действие – найти частное от деления 8 на 8:

3) \(8\div 8=1\).

Итак, результат решения задачи:

\(8\div 2\times (2+2)=1\).

Подтверждением правильности исходной записи задачи и ее преобразования в полностью понятный вид является практика правописания алгебраических выражений: при записи деления числа на произведение, в котором были опущены знаки умножения, скобки, заключающие в делителе число, выраженное произведением, также обычно опускаются. То есть:
\(a\div ( k\times l\times m)=a\div (klm)=a\div klm\).

А в нашем случае мы имеем результат этой записи, то есть, в делителе, который выражен произведением с опущенным знаком умножения, были опущены скобки. И нам следует выполнить обратные действия, то есть: восстановить опущенные скобки и знак умножения. Тогда наш изначальный пример приобретет такой вид, тождественный начальному:

\(8\div [2\times (2+2)]\).

Да, вирусные примеры с опущенным знаком умножения специально записываются таким образом, который предполагает возникновение разночтения у людей с разной математической подготовкой. И без знания правил и четкого их понимания выпутаться практически невозможно.

Проверка решения вирусных математических задач с опущенным знаком умножения

Получив результат выполнения действий, его нужно проверить.

Проверкой данной вирусной математической задачи с опущенным знаком умножения, а также еще одним способом ее решения, служат тождественные преобразования исходного выражения.

Итак, мы имеем выражение \(8\div 2(2+2)\). Можем ли мы его упростить, просто заменив выражение в скобках его суммой? Ответ: нет. Потому что в этом случае у нас получается опущен знак умножения между двумя числами, что противоречит правилу, рассмотренному выше.

Упростить выражение, не нарушив правило опущения знака умножения, мы можем, представив выражение в скобке в виде буквы:

пусть \(x=(2+2)\),

тогда выражение приобретает вид:

\(8\div 2x\),

что не противоречит правилу опущения знака умножения. Идем далее:

\(8\div 2x=4\div x=4\div (2+2)= 4\div 4=1\).

Как видите, проверка показала правильность решения этой вирусной математической задачи.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.6 / 5. Количество оценок: 184

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

Так как вы нашли эту публикацию полезной...

Подписывайтесь на нас в соцсетях!

Читайте и смотрите уроки математики в:
YouTube
Facebook
VKontakte
Одноклассники


Школьная математика
Подписаться
Уведомить о
guest
63 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Наталья
Наталья
1 год назад

я полностью согласна с логикой разобранного примера но почему то ТАСС дает другой ответ от официальных лиц.. можете прокомментировать ? https://tass.ru/obschestvo/6725047

Юрий
Юрий
11 месяцев назад
Ответить на  Наталья

Мне понравилось обоснование в этой статье: «Может у них, на Западе, гди- нибудь в США, или Англии, 2х2 и равно 4, но у нас, в России…»)))

Наталья
Наталья
1 год назад
Ответить на  Владимир

анекдот неплохой, но я вот что думаю ,может сейчас в России пошли по пути упрощения и стандартизации с западными коллегами, только так и могу обьяснить этот ответ. В фс подняли эту тему и я заметила что все кто учился еще в советское время солидарны со мной (и с вами) а другие напали и утверждают что в школе так теперь учат… напишу знакомым амерам что они скажут интересно. Спасибо что ответили.

Алекс
Алекс
1 год назад

Неправильно.
Первое. Ссылка на алгебру неуместна. Это не алгебра.
Второе. Ну давайте решать. Первое действие в скобках. (2+2)=4. И? Че дальше-то? Запишем пример НА ДАННОМ ЭТАПЕ. Получается 8/24 ?? Нет, конечно. Писать нужно 8/2*4. Знак возвращается. Потому как без него никуда. Ну и все, слева направо, получается 16.

Yury Korn
Yury Korn
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Вообще-то 8:2*4 вычисляется слева направо, — порядок выполнения действий проходят в третьем классе. 8:2*4=4*4=16. При своем подходе вы теряете возможность раскрывать скобки без того чтобы изменять вид выражения под заранее придуманный вами результат добавлением лишних скобок. Предлагается также такой критерий: «Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий.» (https://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/poryadok_deystviy.html ). А вы фактически делаете такую замену с нарушением порядка действий. Просто существует два обстоятельства: порядок вычисления выражений и опциональность опускания знака умножения, из которой однозначно следует что опущенный знак умножения трактуется точно так же как присутствующий. А если кого смущает… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
10 дней назад
Ответить на  Владимир

В алгебре действительно одно, а в арифметике другое. В арифметике вы не можете опустить знак умножения между числами, а в алгебре, между переменными, представляющими числа, — можете. И это единственное отличие алгебры от арифметики, и только для таких выражений делается исключение из общего для всей математики порядка вычисления выражений. Если бы в алгебре множители действительно «связывались сильнее», то это означало бы просто выполнение операции умножения раньше деления, и это пришлось бы распространить на всю математику, потому что действительно, арифметические выражения — частный случай алгебраических. Но алгебра не меняет порядка вычисления выражений. Во всей математике операции деления и умножения выполняются слева… Подробнее »

ярослав
ярослав
1 год назад
Ответить на  Владимир

неверно. А давайте этот пример представим виде дроби!!.
и получается что у нас при данном написании выражения есть 2 множителя
1 — 8/2
2 (2+2)
Итог данного выражения 4*4=16

То что вы защищаете применяя нераздельность множителей вы читаете что 8 — числитель а 2(2+2) это знаменатель. Тогда для упрощения и ОДНОЗНАЧНОГО чтения примера пишется пример 8/(2(2+2)) . ТОлько В ЭТОМ СЛУЧАЕ не влияет написание 2*(2+2)=2(2+2)

Анна
Анна
1 год назад

Автор пишет:
«Но тогда получается, что в записи знак умножения пропущен между делителем 2 и скобкой (2+2), что является нарушением правил опускания знака умножения, и такая трактовка условия некорректная.» А ничего, что в данном примере 2 перед скобкой является делителем для 8? А результат от деления 8 на 2 и будет первым множителем, а скобки — вторым множителем.
Ваши манипуляции изменяют правила выполнения математических операций. Кто Вам сказал, что опущенный знак умножения повышает приоритет умножения над делением, если это деление в формуле находится слева?
Чему Вы детей учите?! Они же после Ваших примеров ЕГЭ завалят (((

Елена
Елена
1 год назад

Автор статьи, я с вами полностью не согласна. Поставьте вначале очерёдность действий. Первое действие в скобках? Да!. Тогда запишите пример после решения в скобках. Пример имеет такой вид 8:2х4 и тогда по правилам решение слева направо.

Yury Korn
Yury Korn
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Вообще-то знак умножения там стоит между множителем 8:2 и множителем 4. Или вы считаете такое выражение незаконным? :)

Виталий
Виталий
2 месяцев назад

В основе Вашего анализа лежит «Правило опускания знака умножения в выражениях». От истинности «Правила» напрямую зависит истинность сделанного Вами вывода.
Потому могли бы Вы указать первоисточник этого правила или авторитетное издание, в котором это правило изложено?

Виталий
Виталий
21 дней назад
Ответить на  Владимир

Хм. Вы бы хоть какой-нибудь привели. Или все, какие знаете (если их немного). А если много — то те, которые сами считаете наиболее авторитетными. А читатель уже сам выберет, какие наиболее авторитетны для него. Но главное — эти правила должны быть общедоступны, общеизвестны и адресованы широкой аудитории на уровне общеобразовательных знаний, а не в виде методических рекомендаций для узкой группы специалистов. Иначе руководствоваться ими при трактовании выражения за пределами такой узкой группы специалистов нелогично. Это было бы похоже на обсуждение синтаксиса фразы, написанной на неизвестном аудитории языке. Текст, адресованный широкой группе читателей, должен быть ей понятен на основе тех знаний,… Подробнее »

Кетрин
Кетрин
17 дней назад
Ответить на  Владимир

Вы знаете, в вашей цитате с учебника Виленкина пропущено одно слово: там написано «между буквенным множителем и скобкой» см.сверху страницы

200759DB-634C-4618-99BB-C5BCCBAB8C13.png
Кетрин
Кетрин
16 дней назад
Ответить на  Владимир

Нет, это не придирки. Вы ссылались на этот учебник и на статью из Википедии (в статье, если вы обратите внимание, ссылки на указание источника нет, поэтому сама по себе правка могла быть сделана кем угодно). Получается, что вы ссылаетесь на неподтвержденную информацию, а также пропустили в своей цитате одно слово, меняющее всю суть предложения. И дело не в хейтерах, я даже не знаю, что это за сайт, и о вас не имею ни малейшего понятия. У нас в чате в телеграмме зашел подобного рода спор, и там люди использовали эту цитату, но не смогли указать автора учебника. Яндекс навел меня… Подробнее »

Виталий
Виталий
2 месяцев назад

В догонку к предыдущему. Если допустить, что приведенное автором «Правило опускания знака умножения в выражениях» верно (я его источника найти пока не смог), то вывод все равно должен быть другим. «Правило» гласит: «Знак умножения при записи математических выражений можно опустить в таких случаях…». Значит выражение со знаком и без знака должны иметь одинаковый смысл. При восстановлении знака умножения получаем выражение 6 : 2 х (2 + 1), для которого: а) результат вычисления очевидно равен 9; б) пропуск знака умножения не допустим (как справедливо доказал автор). Но если бы исходно имелся в виду порядок действий «6 : [2 х (2 +… Подробнее »

Виталий
Виталий
21 дней назад
Ответить на  Владимир

Это не я выдираю из контекста отрывки, а Вы. Сосредоточившись на термине «между множителями», Вы забыли, что в «Правилах…» говорится про опускание только знака умножения, а не чего-либо другого. «Опустить знак умножения» — значит не писать его в упрощенной форме выражения по сравнению с его исходной формой. Если упрощенная форма (без знака) выглядит «6:2(2+1)», то как выглядела исходная форма (с еще не пропущенным знаком)? Приведенный Вами исходный вариант «6 : [2 х (2 + 1)]» НЕ ПРИВОДИТ к упрощенной форме ТОЛЬКО опусканием знака умножения. А значит он НЕ ТОЖДЕСТВЕНЕН обсуждаемому выражению. Квадратные скобки определяют порядок действий. Опускание еще и скобок… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
15 дней назад
Ответить на  Владимир

Знак умножения не только опускается, но и стоять может только между множителями. (: Которые одновременно могут выглядеть операндами соседних операций и должны называться соответственно. Это просто абсолютно неверный ход рассуждений. Что именно является множителем для обозначенного хоть знаком, хоть его отсутствием умножения, определяется порядком вычисления выражения. В данном случае это частное от деления 6 на 2.

Yury Korn
Yury Korn
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Это алгебра. Вы можете подставить в это выражение числовые значения a и b, без добавления четырех знаков умножения и двух скобок? А во всех остальных случаях, то есть кроме выражений, состоящих только из опущенных операций умножения, взаимная однозначность между алгеброй и арифметикой при таких подстановках сохраняется полностью. Этим и объясняется то, что случаи, когда выражение состоит только из не обозначенных операций умножения, приходится рассматривать не как опциональное опускание знака умножения, а как неразрывные пары коэффициент-переменная, — если не делать этого достаточно естественного исключения, то сохранение взаимной однозначности между арифметикой и алгеброй обойдется слишком дорого. Никаких причин жертвовать однозначностью вычисления выражений,… Подробнее »

Тали
Тали
1 месяц назад

Зачем городить огород ? Запишите это выражение обыкновенной дробью: 8/2(2+2)=1. Вычисляем сначала делитель, потом производим деление делимого на делитель. Ответ 2

Иван
Иван
17 дней назад
Ответить на  Тали

А с чего вы взяли, что
8 : 2 (2 + 2) = 8 / [ 2 (2 + 2) ]
а не
[ 8 / 2 ] * (2 + 2)
что, кстати, и есть единственно верный ответ в соответствии с математическими правилами
???

Тали
Тали
1 месяц назад

Ответ 1. Представьте все обыкновенной дробью. 8/2(2+2). Сначала вычисляем делитель, потом делим делимое на делитель. Ответ 1

Евгений
Евгений
18 дней назад

Для корректного представления частного 8÷2, оно должно было быть заключено в скобки следующим образом: (8÷2)(2+2). Да, ладно? В пособии «АЛГЕБРА для самообразования» / Д.К.ФАДДЕЕВ и И.С.СОМИНСКИЙ. — 3-е изд. Без изм.: М.: НАУКА. ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1996., в аннотации к которой написано, что книга может быть использована в качестве методического пособия преподавателями средних школ и техникумов, на стр. 116 § 5 «Деление многочленов» (Глава V «Преобразование дробных алгебраических выражений») есть текст, из которого следует что, если мы хотим произвести деление одночлена или многочлена на одночлен, то одночлен, который служит делителем, следует поместить в скобки, что и означает, что у опущенного знака… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
13 дней назад
Ответить на  Владимир

У Репьева одночлен ошибочно назван «произведением, в котором опущены знаки умножения», а ссылается он в качестве примера только на одночлен. На самом деле одночлен неделим, это просто произведение одной или нескольких переменных и числового коэффициента, в записи которого никогда не ставится знак умножения. Если его вставить, то выражение перестанет быть одночленом и изменит свое поведение в более сложном выражении (конкретно — когда расположено справа от знака деления). Почему разница между одночленом и выражением, в котором опущены знаки умножения, принципиальна? Потому что опускание знака умножения опционально. Он может быть опущен, а может и не опускаться, — значение выражения, в котором он… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
12 дней назад
Ответить на  Владимир

Права анализировать рассуждения, чьими бы они ни были, и давать им на основе этого анализа оценку, у меня никто отнять не может. (: А вот у вас праву пересматривать общепринятые в математике соглашения (о порядке вычисления выражений) на основе доморощенной интерпретации каких-то методических рекомендаций, — взяться неоткуда. Ваша статья уже неверна, — в ее основной части упущено, что первый множитель при операции умножения в любом случае является множителем, — независимо от того, опущен в ней знак умножения или нет. Кроме того, в ней не учитывается, что опускание знака умножения в любом случае опционально, то есть если он опущен, то может… Подробнее »

Кетрин
Кетрин
11 дней назад
Ответить на  Владимир

В том пункте, на который вы ссылаетесь (Репьев В. В. Методика преподавания алгебры стр.80-81), Репьев дважды подчеркивает, что данная практика используется в алгебре: «В АЛГЕБРЕ первое правило (имеется ввиду правило о ведении вычислений в порядке записи действий) не применяется в случае деления числа на произведение, например: а:bcd. Если бы в делителе были записаны знаки умножения, то пришлось бы написать: a:(b•c•d). Поэтому выражение следовало бы записать так: а : (bcd). Однако в правописании АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ установилась следующая практика: при делении числа на произведение, в котором опущены знаки умножения, можно не заключать делитель в скобки, т. е. писать: a:bcd. Это ограничивает первое… Подробнее »

Иван
Иван
17 дней назад
Ответить на  Владимир

«может иметь вид и 8÷2(2+2), поскольку…»
Нет, не может. Репьев, возможно, был прав в 1967 году, но с тех пор математический синтаксис стал более логичным и такой ЕРЕСИ, как отсутствие скобок, регулирующих порядок операций, быть не должно.
Любой «препод», который балуется такими вещами — профнепригоден!

Виктор
Виктор
18 дней назад

Троль завелся. Число 2 является делителем только для 8. А для скобок множитель будет 8*2=16, а не 2. Правило множителя, делимого, делителя распространяется только для двух чисел. Вот к двум числам и приводите ответ. Знак умножения пропушел по всем правилам, выражение 2(2+2) скобками не выделено, значит оно не делитель. Хватит пороть чушь и тролить неучей.

Любовь Владимировна
Любовь Владимировна
15 дней назад

Хочу выразить огромную человеческую благодарность автору статьи. Всё просто и логично.
А Ваши ответы местным комментаторам — это вообще отдельный вид искусства. Браво!!!

Любовь Владимировна
Любовь Владимировна
15 дней назад
Ответить на  Владимир

Брагодарю, пренепременно прочту.
Подписалась на Вас на разных ресурсах и искренне недоумеваю небольшому количеству подписчиков.
У Вас довольно интересная страница в ВК, подняли мне настроение с утра.
Не сочтите за наглость, позволю себе, как Вашему неравнодушному подписчику и любителю математики, попросить Вас почаще публиковать интересные задачи, задания, выражения для тренировки мозга. Я преподаватель ИЯ, но математика — моя любовь навсегда, и я с удовольствием освежила бы свои знания в формате: правило — пример — задание — позже правильный ответ.

Любовь Владимировна
Любовь Владимировна
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Когда у меня была такая нагрузка, я почти не спала, а ведь я не вела никаких соцсетей…
Вы делаете важное и нужное дело, верю, что у вас всё получится. Желаю Вам прилежных учеников и благодарных читателей/подписчиков.
P.S. С неподдельным интересом жду Вашей следующей статьи.

Yury Korn
Yury Korn
15 дней назад

Автора публикации никто не уполномочивал придавать своей личной интерпретации того, как люди описывают случаи опускания знака умножения, более высокий приоритет по сравнению с общепринятым и общеизвестным порядком вычисления выражений. Конечно, справа и слева от знака умножения, — хоть явного, хоть опущенного, — могут стоять только множители, что же еще? Но с чего автор взял, что этим множителем может быть только число, а не выражение? Ведь аналогично, слева от символа деления может стоять только делимое, а справа — только делитель. Пользуясь логикой автора, мы могли бы заявить что делитель не может быть множителем, поэтому сначала в разбираемом примере надо выполнить операцию… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Впрочем, как раз ваша логика демонстрирует, что возразить именно по существу вам не по зубам. Поэтому придется конкретизировать мне. Ключевое место в ваших рассуждениях — что правила опускания знака умножения означают что в данном случае он мог быть опущен только между множителем и скобкой, а выполнение деления раньше умножения с опущенным знаком делает двойку, перед которой опущен знак, делителем, а не множителем. Так вот, это рассуждение неверно (а если бы было верно, то распространялось бы и на не опущенный знак умножения, справа и слева от которого могут стоять только множители). На самом деле порядок вычисления выражения делает множителем перед знаком… Подробнее »

Yury Korn
Yury Korn
14 дней назад
Ответить на  Владимир

Пародия-то удалась, поздравляю. Но несоответствие того, о чем я говорю, вашей логике состоит ведь в чем-нибудь конкретном, нет? А пока выходит что по существу вам возразить нечего. (:

Сергей
Сергей
11 дней назад

При записи выражения, автор, опустил знак умножения дав нам четко понять что «2» и «сумма в скобках» это множители между собой и ни что другое. (Если бы множителем был 8:2 — то стояли бы скобки). «8» это делимое. А вот делителя еще нет и вычислить его можно, только выполнив произведение изначально указанных множителей.

Любовь
Любовь
4 дней назад

На мой взгляд, тут даже наличие/отсутствие знака умножения роли не играет, и ответ все равно будет 1. Я разберу пример несколько иначе: 1) определяем правила, которые здесь играют роль: в приоритете скобки, их считаем первыми, то есть сначала выполняем все расчеты, связанные со скобками. Иными словами, расчеты ДО скобок невозможны;скобки нужно не просто посчитать, их нужно правильно раскрыть. Рядом со скобками идет умножение, то есть речь идет о правиле раскрытия скобок при умножении (Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками); в примере есть деление, а значит, есть делимое и… Подробнее »

Любовь
Любовь
4 дней назад

п.с.: я рассматривала пример 6:2(1+2)


63
0
Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи.x